Перпендикуляр түзулер

Геометрия: 7 сынып
Сабақ тақырыбы: Перпендикуляр түзулер. Перпендикуляр және көлбеу. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық
Сабақтың мақсаты:
Білімдік: Перпендикуляр түзулерді анықтайды, перпендикуляр белгісін біледі және оны дәлелдейді; нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр, перпендикулярдың табаны, нүктеден түзуге дейінгі қашықтық, ұғымдарын анықтайды.
Дамытушылық: Ойлау қабілеттерін дамытады, салыстыруға, ой қорытындылауға баулу, байқағыштығын дамытады;
Тәрбиелік: Өз бетінше жұмыс істеуге бейімделуді жалғастырады; пәнге деген қызығушылықтарын арттырады; тиянақтылыққа, жылдам ойлауға үйренеді;
Сабақ түрі: Жаңа білімді игеру сабағы
Сабақтың көрнекілігі: сызбалар, карточкалар
Сабақтың әдістері: сұрақ жауап, есептер шығару, баяндау,

Сабақ барысы:
Ұйымдастыру: Сабақтың мақсатын, жүру барысын айту, жұмыстық көңіл - күй қалыптастыру
Үй тапсырмасын сұрау

Жаңа сабақ:
Перпендикуляр, көлбеу, көлбеудің проекциясы ұғымдары
AB және CD түзулері О нүктесінде қиылысып, бір – бірімен тік бұрыш жасасын (57 - сурет). Сонда ∠ ВОD = 90 болады. Ол жазық бұрыштың жартысы болғандықтан, ∠DОА = 90, ∠СОВ = 90,. Бұдан ∠АОС = 90 - қа тең. Бұл жағдайда АВ және СD түзулері перпендикуляр болады.
Анықтама. Тік бұрыш жасап қиылысқан екі түзу перпендикуляр түзулер деп аталады.
Түзулердің перпендикулярлығы «⟘» таңбасымен белгіленеді. Мына a⟘b жазуы оқылады «түзуі түзуіне перпендикуляр». Сонда «АВ түзуі СD түзуіне перпендикуляр» дегенді қысқаша АВ ⟘ СD деп жазамыз.
Перпендикуляр түзулерде жатқан кесінділер де, сәулелер де перпендикуляр болады. Яғни, 57 - суреттегі ОВ және О сәулелері сондай – ақ OE, ON кесінділері деп перпендикуляр деп есептелінеді.
1. Теорема. Бір түзуге перпендикуляр екі түзу өзара параллель болады.
Дәлелдеу. a⟘c Және c⟘b болатын a, b, c түзулері берілген. (58 - сурет). ∠1= 90, ∠2=90 және∠1 мен∠2 – ішкі тұстас бұрыштар ∠1+∠2 180. Сонда түзулердің параллельдік белгісі бойынша a||b болады. Теорема дәлелденді.
2 – теорема. Егер түзу параллель түзулердің біріне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады.
3 – теорема. Түзудің әрбір нүктесі арқылы оған перпендикуляр тек бір ғана түзу жүргізуге болады.
Дәлелдеу: Берілген a түзуінің бойынан (59 - сурет) кез келген О нүктесін алайық. a түзуі арқылы анықталған жарты жазықтықтардың бірінде ОА сәулесінен бастап ∠АОС = 90 болатын бұрышты өлшеп алайық. Сонда ОС ⟘ ОА болады. ОС сәулесіне толықтауыш сәулесін жүргізсек, түзуі анықталады. Демек, b⟘a
Енді О нүктесі арқылы өтетін және a түзуіне перпендикуляр бір ғана b түзуі болатынын көрсетейік. ОC сәулесі жатқан жарты жазықтықта ОС1 ⟘ ОА болатынын тағы бір ОС1сәулесі бар деп есептесек, ол түзуін анықтайды. Сонда ∠АОС1 = 90. Бірақ IV2 аксиомасы бойынша берілген жарты жазықтықта ОА сәулесінен бастап 90 - қа тең болатын бір ғана бұрышты өлшеп салуға болады. Демек, ОС1 сәулесі ОС сәулесіне b немесе b1 түзуі түзуіне дәл келеді.
Сонымен a түзуінің О нүктесі арқылы өтетін, оған перпендикуляр бір ғана b түзуі бар. Теорема дәлелденді.
4 – теорема. a Түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы осы түзуге перпендликуляр бір ғана түзу жүргізуге болады.
Дәлелдеу. a түзуі және одан тысқары жатқан В нүктесі берілсін. (60 - сурет). В нүктесі арқылы a түзуіне параллель түзуін жүргіземіз. В нүктесі арқылы b⟘c түзуін жүргіземіз. Сонда c⟘a, яғни олар А нүктесінде қиылысады.
В нүктесі арқылы өтетін және a түзуіне перпендикуляр бір ғана с түзуі бар. Керісінше тағы бір с1 түзуі бар деп есептейік. Сонда а түзуіне перпендикуляр с, с1 екі түзу В нүктесінде қиылысып қалдар еді. Бұл 3 – теоремаға қайшы. Демек, В нүктесі арқылы өтетеін және берілген а түзуіне перпендикуляр бір ғана түзу бар. Теорема дәлелденді.
В нүктесінен а түзуіне түсірілген ВА кесіндісін – перпендикуляр, ал ВС кесіндісін – көлбеу деп атайды (60 - сурет). А нүктесі ВA перпендикулярының табаны, С нүктесі ВC көлбеудің табаны, АC кесіндісі ВC көлбеудің а түзуіндегі проекциясы деп аталады.
ВА кесіндісінің ұзындығын В нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтық деп те атайды.
Салдар. Параллель екі түзудің арақашықтығы олардың бірінің кез келген нүктесінен екіншісіне түсірілген перпендикулярдың ұзындығына тең.
Есептер шығару
Топтық жұмыс оқушыларды 4 - 5 топқа бөлу!
120. а және b түзулерінің қиылысуында пайда болған бұрыштардың үшеуі өзара тең. а ┴ b екенін дәлелдеңдер.
Шешуі. Қиылысқан а және b түзулері берілсін. Олар қиылысқанда пайда болған бұрыштардың үшеуін 1; 2 және 3 деп белгілейік. Шарт бойынша <1=<2=<3. <1 мен <2 ( немесе <2 мен <3) сыбайлас болғандықтар олардың қосындысы 180°- қа тең. Ондықтан олардың әрқайсысы 90° - тан. Бұл түзулердің өзара перпендикуляр болатынын көрсетеді.
123. АВ және СD перпендикуляр түзулері О нүктесінде қиылысады. ОЕ және ОF сәулелері ОD сәулесімен бір жарты жазықтықта жатады және <ЕОF=105, <ВОF=28°. DОF және DОЕ бұрыштарын табыңдар.
Шешуі. Есептің шартына сәйкес сурет саламыз ВОЕ және АОЕ – сыбайлас бұрыштар. Сондықтан <ВОЕ немесе <АОЕ=180°-(105°+28°) 180°- 133°=47°. <АОD=90° болғандықтан,<ЕОD=90° - <АОЕ=90°- 47°= 43°. Суреттен, < DОF = 105°- 43°=62°.
Жауабы: 62°, 43°.

Өздік жұмыс
№1
Екі доғал бұрыштың ортақ қабырғасы бар, ал қалған екі қабырғасы өзара перпендикуляр.
Егер доғал бұрыштар тең екендігі белгілі болса, доғал бұрыштың шамасын тап.
Жауабы:
∠АОВ = ∠АОС
ВО⟘ ОС,
∠ВОС = 90
2∠АОВ = 360 – 90 =270
∠АОВ = 135

№2 Жазыңқы бұрыштың төбесінен екі сәуле жүргізілген, олар оны ұш тең бөлікке бөледі. Ортаңғы бұрыштың биссектрисасы жазыңқы бұрыштың қабырғаларына перпендикуляр екендігін дәлелдеу керек.
Жауабы:
∠АОВ = ∠ВОС = ∠СОD=60, ОК – биссектриса,
∠СОК = ∠ВОК = 30
∠DOK = 90
∠АОК= 90
Сабақты қорытындылау
Бағалау:
Үйге тапсырма: №124, 125 есептер
 
№1 а және b түзулерінің қиылысуында пайда болған бұрыштардың үшеуі өзара тең. а ┴ b екенін дәлелдеңдер.

№2 АВ және СD перпендикуляр түзулері О нүктесінде қиылысады. ОЕ және ОF сәулелері ОD сәулесімен бір жарты жазықтықта жатады және <ЕОF=105, <ВОF=28°. DОF және DОЕ бұрыштарын табыңдар

№1
Екі доғал бұрыштың ортақ қабырғасы бар, ал қалған екі қабырғасы өзара перпендикуляр.
Егер доғал бұрыштар тең екендігі белгілі болса, доғал бұрыштың шамасын тап.

№2 Жазыңқы бұрыштың төбесінен екі сәуле жүргізілген, олар оны ұш тең бөлікке бөледі. Ортаңғы бұрыштың биссектрисасы жазыңқы бұрыштың қабырғаларына перпендикуляр екендігін дәлелдеу керек.

ШҚО, Көкпекті ауданы, Көкпекті ауылы
Ж. Шайжүнісов атындағы орта мектебі
Математика пән мұғалімі: Нуркасымов Б. Н.