Спор за круглым столом

Внеклассное мероприятие в рамках недели математики. Учащиеся знакомятся с историей возникновения и применением кривых второго и четвертого порядка. с их графиками и формулами.

За круглым столом сидят фигуры. Затеяли спор, кто важней. Беседа сопровождается показом слайд-шоу.
Парабола: Зовут меня Парабола. Год рождения -350 лет до нашей эры. Родители мои: Конус и Плоскость. Национальность – Гречанка (слайд 1)
Треугольник: Господа! Парабола является, пожалуй, одной из самых известных кривых в математике. И, наверное, никакая другая кривая не имеет в своем характере столько ужасных штрихов, как Парабола.

Замаскировавшись под своим квадратом, везде так и ждет момента, чтобы сбить с толку несведущего человека. Действительно, пусть у нас имеется значение функции у=х 2. Каков аргумент функции?

Плюс и минус х, т.к., у=х2 , у=/-х/2 =х2 . Итак, Парабола - двуличная! Но это еще что? Оказывается, она имеет экстремум!
Пожа¬луй, самой уничтожающей характеристикой Параболы является то, что она любит совать свой нос, куда её не просят.
Например: по Параболе происходит траектория бомбы, сброшенной с самолета. И эта парабола описывает полет снаряда.(слайд3)
Парабола: Горько и обидно слышать мне такие слова! Вы оглянитесь вокруг и увидите меня. Форма абажуров и лампочек в виде параболы, жидкость, вытекающая из сосуда, описывает параболу. Если свет конической лампы направить на плоскость, освещаемая часть поверхности будет тоже в виде параболы. У меня есть замечательные свойства, не зная которых плохо пришлось бы человечеству.

Вы видели, какие равные лучи пускает в небо прожектор? Это достигается путем параболических отражений. Если источник света поместить в фокус параболического зеркала, то лучи, отразившись, пойдут параллельным пучком. И. наоборот, параллельный пучок света, отразившись от зеркала, соберется в единой точке - фокусе параболы. Это свойство применяется в рефлекторных антеннах, радиотелескопах. А представьте, вместо меня, на поворотах железной дороги угол! Мчится поезд, поворот и ... взрыв, крушение! Сотни жертв. А сами попытайтесь повернуть на велосипеде не по параболе! Видно без меня не обойтись! Но я могу не только помогать людям, но и веселить их. Вспомните аттракцион "Парабола чудес!" Снова я.
Но нужно уметь правильно меня использовать. Космические корабли, станции, доставившие лунный грунт на Землю. Ведь я помогла это сделать! (слайды 4-8)

Эллипс: А меня зовут - Эллипс!
Год рождения 350 лет до н.э. Мои родители - Конус и плоскость.
- Национальность Грек. Значит мы с параболой родственники!(слайд9)
Угол: Углы, которых я имею честь представить в тесном содружестве с прямыми линиями, идут прямой дорогой жизни, никогда не скрывают своих недостатков, везде действуют прямо, открыто… А что такое вы? Одно слово - кривые. Эти подозрительные элементы математики не прочь покривить душой. Вот, скажем, для примера - эллипс. Он нам не нужен в виду его бесполезности.
Во-первых, его очень трудно чертить. Чертишь, чертишь, ничего не получается. Только время зря истратишь, да еще оценку плохую получишь.
Эллипс очень похож на окружность. Да он и есть окружность, только деформированная, и ничем от этой выскочки не отличается. Даже еще хуже ее, что не эллипс, то фокус.

Или еще! Если взять на этой кривой точку, то сколько не веди карандашом, все равно не выйдешь за пределы этой фигуры. Заметьте господа! Никакого роста, никакого прогресса! Замкнутая, ограниченная личность! И между прочим, я не один так думаю, со мной согласен и поэт, который тоже сказал: "Я с детства не любил овал, я с детства угол рисовал". В. Маяковский.

Эллипс: Я считал, господин Угол, Вас вполне образованным элементом. Я не согласен с Вашим обвинением и докажу это!
Мои родители: плоскость и конус, были вполне образованными людьми. Они были знакомы с греческим учением еще 350 лет до н.э. Дальше меня воспитывали Эйлер, Паскаль, Декарт. Хочу уточнить, как я получаюсь. Меня можно получить, если пересечь конус плоскостью. Я есть множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами./Да, фокусами, господин Угол!/ есть величина постоянная, равная моей большой оси.

Если Вы желаете убедиться, то наклоните стакан с водой - и увидите меня - эллипс.
Так, что Вы убедились, что я получаюсь весьма и весьма часто.
А теперь самое главное. Что было бы, если бы меня не было? У Вас есть машина, господин Угол? Так вот, если бы меня не было, то у Вас и машины бы не было, т.к. маховики и прочие детали имеют в сечении эллипс. Именно эта форма придает наибольшую стойкость детали! Планеты двигались бы по другим орбитам и неизвестно, где бы мы с вами были. А ведь эллиптические - наиболее выгодные орбиты. Я думаю, что мне удалось убедить Вас!(слайды 10-14)

Гипербола: -А меня Гипербола. Год рождения 350 лет до н.э. Национальность Гречанка.(слайд15)
Квадрат: О! Еще один родственничек! Угол совершенно точно сказал, охарактеризовав эту выскочку Эллипс.
Совершенно с ним согласен, и смею Вас заверить, господа, что и в Гиперболе ничего нужного нет.
Ниоткуда пришла - в никуда ушла. Распалась при этом на две части, и не поймешь - тут она или там. Никакой самостоятельности, зачем, скажите, скрываться, если ты честно и открыто живешь?

А Гипербола всю жизнь стремится к прямым, жить без них не может. Куда прямые, туда и она. Всю жизнь бежит рядом с ними, но все так и держится в стороне. Нет, чтобы прямо сойтись характерами. Гипербола - двулична и решения принимает раздвоенные, ни к селу, ни к городу. Мы фигуры почтенные и уважаемые, мириться с ее существованием в математике не можем.
Вот я, к примеру, или мой коллега Треугольник. У нас все определенно строго, четко. Учащиеся нас не боятся, и мы их тоже…
А Вас - то, уважаемая, даже нарисовать сразу нельзя. Еще кривее, чем на самом деле получается. А кому от нее польза, господа? Никому! Ненужная она, я бы сказал вредная вещь!

Изгнать ее из математики! Пусть она бегает за своей прямой и назад не возвращается. Коллеги со мной согласны, надеюсь?
Гипербола: -Вы, господин Квадрат, сказали, что я распалась на две прямые. Но я - кривая и ничего общего с прямыми не имею. Я действительно распалась, но на пару кривых.
А где Вы были, когда я несчастная распалась?
Вы не помогли мне!

Вы умеете только обвинять! К счастью, нашлись люди, которые не только поддержали меня в трудную минуту, но и нашли способ этот факт использовать.
Все Вы, конечно, любите смотреть телевизор. Но ведь мало кто знает, что телевизора не было бы, не будь меня, гиперболы!
Ведь все телевышки построены как гиперболоиды вращения. А знаете ли Вы, почему некоторые кометы один раз пролетев мимо солнца, уже больше никогда не возвращаются? "Они сгорают" - скажете вы. - Но это не главное. Многие из них движутся по гиперболе, а мои ветви; как тут отметили, бесконечны. А вот сейчас, господа, судья пролил воду, вода в стакане, образует со стеклами гиперболу. Да!
Господин Квадрат, возьмите этот карандаш, очините его и вы увидите гиперболу. Теперь-то все вы, наконец, видите, что, куда ни посмотри, всюду я, гипербола!

Вы говорили, господин Квадрат, что-то насчет трудности моего характера? Да, характер у меня действительно несколько трудный. Но именно это и придает мне такое очарование.
Конечно, многие учащиеся меня не любят, я слишком сложна для них. Но зато без меня не могут обойтись ученые и даже писатели.
Ведь обо мне писала книга "Гиперболоид инженера Гарина". (слайды 16-18)
Циклоида: А я- Циклоида. Год рождения -Вторая половина ХУП века.
Мои родители- Окружность и Прямая. Национальность- Итальянка.(слайд19)
Ромб: Наш дружный коллектив строгих геометрических фигур сегодня в который раз обвиняет семейств кривых 2-го порядка в бесполезности и вредности их существования.

Я - всеми уважаемый Ромб! Что такое Циклоида? Смею Вас заверить, что она известна, как настоящая мещанка.
Посудите сами, стоит ей только подняться над жизнью, как она скатывается опять вниз. Это уже вошло в привычку. Нет, ограниченная личность, эта циклоида!
Эту самую циклоиду, господин судья, может нарисовать любая точка на ободе какого-то колеса телеги! А где Вы ее видели, господа? Я не нашел применения этой особе! Мне даже нечего о ней сказать.

Циклоида:
-Если я не ошибаюсь, господин Ромб стремился назвать меня мещанкой? Да, я Циклоида - есть траектория точки, лежащая на ободе катящегося колеса.
Но тем не менее, это не повод для оскорбления!
Для полной ясности я расскажу свою жизнь. Изучать меня начали во 2-ой половине ХУП века. Итальянец Галилео Галилей вывел меня в люди. Позднее мной заинтересовались французские математики и итальянский физик Торричелли. Уж поверьте, они-то никогда не думали обо мне так плохо, как этот Ромб. Меня стали применять в разных областях науки и техники.

Немецкий физик Гюйгенс построил маятник, который движется по циклоиде. Господин Судья! Уважаемая публика! У Вас у всех есть часы. А ведь в них использована циклоида! Не будь меня, что было бы на свете?
Boвремя не раздастся звонок будильника, и вас ожидает неприятный разговор с классным руководителем.
Вы бы, господин Ромб, опоздали на работу!... Ценить и беречь время в наш век - главное! Я думаю, мои многочисленные родственники: кардиоида, эпициклоида, астроида - выступят в мою защиту. (слайд20)

Кардиоида: Я - Кардиоида. Год рождения- 1856 . Мои родители- Круг и цилиндр. Национальность-Немка.(слайд21)
Луч: - Господа! Если думаете, что Циклоида от того, что ее намотали на окружность и назвали кардиоидой, изменила свой мещанский нрав и замашки выскочки, далеко ушедшей от основной массы, но Вы, господа, ошибаетесь! Она не только уменьшила, а наоборот, увеличила свои мещанские привычки. Раньше она бежала вдоль прямой из бесконечности в бесконечность, а теперь она так и вьется вокруг одной окружности. И ведь ничего общего с окружностью кардиоида не имеет, кроме единственной точки. Правда, окружность тоже хороша! Она же круглая! Но не о ней сейчас речь, разбирались бы они вдвоем, так ведь нет! Кардиоида норовит обогнуть другую окружность, вдвое большего радиуса.
Это объясняется тем, что является основанием перпендикуляра и касательной этой окружности.
Но еще неизвестно, что это за касательные, и нет ли у них родственных связей за границей?

Связь же ее с перпендикулярами позволяет сделать вывод не в пользу кардиоиды. И последнее! Вид этой кривой напоминает что-то трагическое из человеческих отношений.
Это, если Кардиоиду проткнуть стрелой... А это все не способствует обстоятельному занятию математикой. Иначе скоро с этой кривой появятся в науке такие абстракции, как любовь, ревность и другие более опасные вещи, связанные с сердцем и которые не имеют точных определений не только в математике, но и в других науках, что затрудняет изучение всех наук, связанных с математикой.
Кардиоида:- Только что Вы, господа, выслушали совершенно необоснованное клеветническое обвинение в мой адрес. И от кого? От какого-то мальчишки Луча! Стоит на Земле одной ногой, летает где-то в облаках! Я отвергаю его обвинение и докажу свою необходимость в науке вообще в математике в частности. Надеюсь, Вы господа, любите яблоки?

Так вот, если Вы разрежете яблоко пополам, то увидите кардиоиду. Не будь меня - не было бы яблок, и не был открыт закон всемирного тяготения! Что бы тогда осталось от великой физики? Далее, Луч что-то намекал насчет сердца. Дескать, сердце бесполезно в математике. Но еще древние -древние люди утверждали, что математике нужны холодные головы и горячее сердце. Так что связь с сердцем только в мою пользу.
А окружность большого радиуса я огибать не собираюсь, она сама в меня вписывается точно, и я с ней имею целых 2.000 касательных. Тут Луч намекал на не особенно приличное родство с окружностью. Но я не потерплю таких намеков! (слайды22-26)

Синусоида: Я - Синусоида- волнообразная плоская кривая, которая является графиком тригонометрической функции у=siпх в прямоугольной системе координат. Если рулончик бумаги разрезать наискосок и развернуть его, то край окажется разрезанным по синусоиде.(слайды31-32)
Любопытно, что проекция на плоскость винтовой линии также будет синусоидой. Изменение какой—либо величины по закону синуса называется гармоническим колебанием. Примеры таких колебаний: колебания маятника, колебания напряжения в электрической сети, изменение тока и напряжения в колебательном контуре и др.

Еще один пример синусоидальных колебаний – звук (гармонические колебания воздуха). Однако редко удается услышать чистый звук. В большинстве случаев мы слышим ряд других звуков (обертоны), соответствующих колебаниям с меньшей амплитудой. Эти звуки музыкальных инструментов дают основному тону специфическую окраску - тембр.

Конхоида: Три знаменитые классические задачи древности– трисекция угла, удвоение куба и квадратура куба – не поддавались усилиям древнегреческих математиков. Им не удалось решить эти задачи с помощью циркуля и линейки. Для их решения стали предлагать другие способы: новые инструменты, кривые. Древнегреческий геометр Никомед, живший приблизительно за 200 лет до н.э., использовал для задач трисекции угла и удвоения куба кривую, которую он назвал конхоидой (от греческого «похожий на раковину»).
Э. Паскаль (отец французского ученого Б.Паскаля) применил такое же построение по отношению к окружности и точке, лежащей на ней. Полученная кривая носит название конхоиды окружности, или улитки Паскаля. Иногда улитка Паскаля превращается в кардиоиду. (слайды33-34)

1Сосед параболы:
-Парабола -одно из конических сечений. Эту кривую можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек М плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно ее расстоянию до заданной прямой 1, называемой директрисой параболы.
Определение параболы наводит на идею конструкции чертежного прибора, способного вычерчивать параболу. На листе бумаги нужно закрепить линейку (ее край будет директрисой будущей параболы), в точке F. которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертежного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника. Перемещая второй катет вдоль линейки и прижимая нить острием карандаша к первому катету треугольника, мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковых расстояниях от края линейки и от точки F, т.е. параболу.(слайды 35-37)

Второй сосед параболы:
- Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту. летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.

Третий сосед параболы:
-Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов. автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения.
Спираль:Спирали - плоские кривые линии, многократно обходящие одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Такая форма кривой делает естественной запись ее уравнения в полярных координатах, где функция монотонно увеличивается или монотонно уменьшается с увеличением угла.

Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся спиралей.
Спираль Архимеда: Полярное уравнение архимедовой спирали. изученной древнегреческим математиком Архимедом, имеет вид r = аφ. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками, каждое из них равно 2πа.
По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса.

Металлическая пластина с профилем в виде половины нитка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины - механизм для равномерного наматывания ниток па шпульку- имеет форму спирали Архимеда (38 слайд)
Квадратичная спираль: Если положить рядом с центром вращающейся грампластинки натертый мелом шарик для настольного тенниса, то, скатываясь с нее, он оставит на грампластинке след в виде квадратичной спирали. Это я. Действительно, абсолютно горизонтально установить грампластинку не удастся, а прямая ее наибольшего наклона та, по которой шарик скатывается под действием силы тяжести, равномерно вращается по пластинке .
Логарифмическая спираль: Я имею бесконечное множество витков и при раскручивании (как и архимедова), и при скручивании.

Последнее означает, что я не прохожу через свой полюс. Меня, Логарифмическую спираль, называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали - под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, скажем на пламя свечи, инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Спираль Корню: Я названа по имени французского физика ХIХ в. А. Корню. Главной особенностью у меня является то, что моя кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути. При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной для закругления. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с её центра. А с путем по окружности спираль Корню стыкуется в той её точке, где её кривизна равняется кривизне данной окружности. ( слайды 39-43)
Цепная линия: - Я - Цепная линия, одна из тех плоских кривых, которые вы повседневно наблюдаете, возможно не задумываясь о форме. Свое название цепная линия получила из-за того, что любая цепочка или любая гибкая тяжелая нерастяжимая струна, закрепленная на концах, является частью цепной линии, как, например, провод электропередачи.

Второе мое замечательное свойство цепной линии обнаружил в 1744 г. Л. Эйлер. Он искал такую кривую, проходящую через две заданные точки, чтобы поверхность вращения ее вокруг заданной прямой имела бы наименьшую площадь по сравнению с площадями поверхностей, полученных вращением других кривых, проходящих через эти точки. Оказалось, что такой кривой являюсь я, цепная линия; соответствующая поверхность была названа катеноидом (цепеобразной). Именно такую форму принимает мыльная пленка, если ее натянуть на два кольца, расположенных на одной оси.( слайд44-46)

Сосед Эллипса: Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами, пересекают касательную к эллипсу в этой точке под разными углами. А это значит, что луч, пущенный из
фокуса, после отражения попадет в другой. Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как - будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико. (слайд 47)
Парабола: Да что спорить, Господа Кривые! И так ясно, что без нас и в жизни, и в науке не обойтись. Да и без прямых тоже! Давайте пожмем, друг другу руки и будем друзьями! (слайд 48)

Солтүстік Қазақстан облысы,
Қызылжар ауданы, Шаховское орта мектебінің
математика пәні мұғалімі:
Колюжная Светлана Юрьевна