Сызықтық теңдеулер жүйелері

Сабақтың тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйелері. Крамер әдісі, Гаусс әдісі, кері матрица әдісімен шешу

Сабақтың мақсаты:
Білімділік: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің әдістерін үйрету, Крамер, Гаусс әдістерін және Кері матрица әдісінде жүйенің шешімдерін табуды үйрету. Сызықтық бағдарламалаудың модельдерін құруды үйрету.
Тәрбиелік: Оқушыларды ұйымшылдыққа, ұқыптылыққа, дәлдікке тәрбиелеу;
Дамытушылық: Оқушылардың ойын жеткізу білуін және ой өрісін дамыту.

Сабақтың типі: Жаңа сабақ
Сабақтың түрі: Сын тұрғысынан ойлау технологиясының стратегиялары, сұрақ жауап, ойын элементтері.
Сабақтың көрнекіліктері: проектор, дербес компьютер, қосымша материалдар

Сабақтың жүрісі
І. Ұйымдастыру
ІІ. Үй тапсырмасын тексеру
ІІІ. Жаңа материалды түсіндіру
IV. Бекіту
V. Үйге тапсырма
VI. Бағалау

І. Ұйымдастыру
Студенттермен амандасу, тексеру. Сабаққа дайындығын бақылау, аудитория тазалығын қадағалау. Сабақтың барысымен таныстыру. Топқа бөлу.
ІІ. Үй тапсырмасын тексеру

Студенттерге сұрақ қою.
1. Матрицалардың анықтамасы
2. Матрицалардың түрлері
3. Анықтауштар және оның қасиеттері
4. Матрицаға амалдар қолдану
5. Кері матрица
6. Матрицалар рангісі
7. Үшбұрышты матрицалар әдісі
8. Матрицалық теңдеулер
9. Матрицалық теңдеулердің шешімін табу
10. Матрица нормасы
11. Кері матрицаны табу
12. Лапллас ережесі бойынша есеп шығару
13. матрицаны санға көбейту
14. екі матрицаның көбейтіндісінің шарттары
15. матрицаларды бағдарламалық моделдеу

есеп шығару. Жарыс
1-есеп матрицаны есепте
2-есеп кері матрицаны тап
3-есеп матрицаның бағдарламалық моделін құр
1-есеп матрицаны есепте
2-есеп кері матрицаны тап
3-есеп матрицаның бағдарламалық моделін құр
1-есеп матрицаны есепте
2-есеп кері матрицаны тап
3-есеп матрицаның бағдарламалық моделін құр

Жаңа материалды түсіндіру
Топты бір неше топқа бөліп, алдын ала берілген тақырыптар бойынша өз баяндамаларын оқиды.
1. Сызықтық теңдеулер жүйесі
2. Сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу
3. Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу
4. Сызықтық теңдеулер жүйесін Кері матрица әдісімен шешу
5. Сызықтық бағдарламалау моделі

Сызықтық теңдеулер жүйесі

Қазіргі кезде алгебралық теңдеулер жүйесін әр түрлі дәрежеде қолданбайтын ғылым салалары жоқ. Сызықтық теңдеулер жүйелері экономикалық зерттеулерде, оптикалық есептерді қалыптастыруда және тәжірибе жүзінде оларды шығару айрықша маңызды. Осы салада олар кеңінен қолданылады. Бұл жерде сызықтық программалау курсының әмбебап симплекс әдісі – сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістеріне және оның ішінде айнымалылардың теріс емес мәндерін ерекше бөлектеп шешетін әдістеріне негізделгені туралы алдын ала айта кеткеніміз жөн.
Негізгі түсініктер

Жалпы m сызықтық теңдеулер және n белгісіздер X1,X2,…,Xn жүйесінің түрі мынадай:
(1.1)
Мұндағы аij және bij кез келген сандар (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n), ,біріншісі белгісіздер коэффиценттері, екіншісі теңдеулердің бос мүшелері. Коеэффицент аij дегі бірінші индикс теңдеудің реттік нөмірін, ал екінші индикс белгісіздің реттік нөмірін білдіреді.
Мүшелердің саны n белгісіздердің көрсетілген мәнін (1.1) жүйедегі теңдеулердің әр қайсысына орнына қойғанда теңдік орындалса, осы мәндер берілген жүйенің шешімі деп аталады.
Егер теңдеулер жүйесінің (1.1) кем дегенде бір шешімі болса, онда теңдеулер бірлеспеген деп аталады.

Бірлескен теңдеулер жүйесінің бір ғана шешімі болса, онда жүйені анықталған, ал егер жүйенің шешімі жоқ болған жағдайда анықталмаған деп атайды.
Егер теңдеулер жүйесінің бәрінің бірдей көп шешімдер жиыны болса, онда олар эквивалентті деп аталады. Алғашқы жүйелерді қарапайым түрлендіру эквивалентті жүйеге келтіреді.
Теңдеулер жүйесіне жасалатын мынадай әрекеттер қарапайым түрлендіруге жатады:
1. теңдеуден 0x1+0x2+…+0xn=0 нөлдік жолды сызып тастау;
2. теңдеудің немесе аijxi мүшелердің орнын ауыстыру;
3. жүйедегі бір теңдеудің екі жағына, келесі бір теңдіктің сәйкес жақтарына кез келген бір нақты санға көбейтіп қосу;
4. жүйедегі басқа бір теңдеудің сызықты комбинациясы болып есептелетін теңдеуді жүйеден алып тастау

соңғы қасиет, егер кез келген теңдеу басқа бір теңдеудің сызықты комбинациясы болса, онда оны нөлдік жолға айналдыруға болады деген жүйенің үшінші қасиетінен туып отыр.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін көптеген әдістер қолданылады, оның ішінде орнына қою (айнымалыларды бірінен кейін бірін қысқарту) және алгебралық қосу әдісі. Сызықтық теңдеулер жүйесінің қасиеттері, сонымен қатар жүйедегі теңдеулердің бірлескендігі туралы анықтамалар алгебра курсының мектептегі бағдарламасында қарастырылады.
Сызықтық теңдеу жүйесін матрица қалпына келтіріп, әртүрлі әдістермен (мысалы, Крамер, Гасс, Жордан-Гаусс түрлендіруі және т.б.) шешу көптеген әдебиеттерде келтірілген. Солардың ішінен қазіргі кезде тәжірибелік есептерде жие қолданылатын кейбір әдістерін қарастырамыз. Бұл жерде сызықтық теңдеулер жүйесін кесте құрып шығару тәсілдері, сызықты программалау курсының сиплекс әдісі алгоритмінің негізін құрайтындығын да ескерген жөн.

СТЖ Крамер әдісімен шешу
n айнымалысы бар біртекті емес n сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің Крамер ережесі:
Теорема. N айнымалысы бар біртекті емес n сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді және рангА=n болса, онда ол төмендегідей жалғыз шешімге ие болады.

Мұнда ∆ = det A, ал ∆i – А матрицасындағы і-ші бағанды сәйкес бос мүшелермен алмастырғанда алынатын матрицалардың анықтауышы.
Яғни,
............................................
Мысал, екі белгісізі бар сызықтық екі теңдеулер жүйесін шешу керек

∆, ∆х, ∆у анықтауыштарды есептейміз
Осылайша,
Жауабы: (5;2)
СТЖ Гаусс әдісімен шешу
СТЖ шешудің Гаусс әдісінің мағынасы мынада: берілген теңдеулер жүйесінде қарапайым түрлендірулер қолдану арқылы айнымалыларды біртіндеп жою бойынша оны баспалдақты түрге келтіру.
Содан соң кері есептеулер жүргізіп жүйенің шешімі табылады. Берілген жүйеге қолданылатын барлық түрлендірулерді жүйенің матрицаларына қолдануға болады.
Мысалы:

Шешуі.
, бұдан аламыз
x1 + x2 – x3 = 0
x2 – x3 = –1
x3 = 1 , яғни (1; 0; 1)

СТЖ кері матрица әдісімен шешу
(1.2)
теңдеулер жүйесін матрицалық түрде жазуға болады: А∙Х = С,
мұнда
, ,
Сонда Х = А-1∙С (1.3)
Мысалы:
А, Х, С матрицаларын жазамыз,
, ,
Аударылған матрица түрінде жазуға болады,
Сонда, x1=27, x2=43, x3=0
Сызықтық бағдарламалаудың модульдері
Математикалық арнаулы әдістер жолымен үйретілетін экономикалық есеп шешімдерін әдіс бөлімі математикалық бағдарламалау атымен аталады. Мұнда бағдарламалау рұқсат етілген бағдарламаны анықтау, кейбір критерилік көз қарас арқылы тиімді саналатынын анықтау, бөлу жоспары қарастырылады. Экономикалық нақты мысалдарын шешудің құрылымын білу қажет.
Мұндай құрылым екі кезеңге бөлінеді:
1) мақсат қойып, ізделінетін шамаға тәуелді кейбір түрлері алдымен көрсетіледі. Мысалы, дайын өнімді таратудағы пайда немесе жұмыстың белгілі бір бөлігін орындауға кеткен шығын. Алынғанды мақсатты функция дейміз.
2) қалыптасқан шарт ізделінеді шамаға қойылуы тиіс. Олар мынадан шығады: мысалы, қолда бар ресурстардан немесе технология жағдайларынан. Көбінесе мұндай жағдай теңсіздік немесе теңдікке әкеліп соғады.

Математикалық қалыптасқан жағдайдағы жүйе белгісізге негізделіп, берілген мәселенің шектелген жүйесін құрайды.

Егер мақсатты функция ұнамды экономикалық факторды білдірсе, онда оны максимальдандырып, керісінше жағдайда (егер тиімділеу критерийі шығынымен жұмсалған болса) минимум ізделеді. Сол себептен математикалық есеп мына түрде қалыптасады: белгісіздің сондай мәндерін табу үшін ол мақсатты функцияның максимумы мен минимумын жеткізуі және шектеулі жүйеде қанағаттандыруы керек.

Белгісіздің сандық мәндерінің жиынтығы мәселе жоспары деп аталады.
Кез келген жоспарда шектеудің қанағаттандырушы жүйесі болуы мүмкін деп есептейміз.
Осы себептен есептерді шешу мүмкін жиындар ішінен тиімдеу жоспарын іздеу жолымен алынады.

Егер мақсатты функция мен шектелген жүйе сызықты болса, онда бірінші дәрежедегі белгісіздер белгізісдердің есептеріне тікелей енеді, сонда бағдарламалау сызықтық деп есептелінеді. Егер мақсатты функция немесе шектелген жүйе құрамында сызықтық мес өрнектер кездесетін болса, бағдарламалаудың бұл түрі сызықсыз деп талады.

1. Ізделінетін шама сызықтық функцияларында максимумды немесе минимумды іздеуді талап етеді.

2. Ауыспалылар шектелу, берілген сызықтық теңсіздік немесе теңдік, сонымен қатар, терістік емес жағдайда қанағаттандыруы керек.
Экономикалық мәселені қалыптастыру үшін, мәселенің шешімі үшін математикалық модельді құрамыз және сызықтық бағдарламалау мәселесіне қатысты нақ мәселені көрсетеміз.
Мысалы, рацион құру есебі.

Жеке малды жемдеуде күнделікті S1 жұғымды затының 9 бірліктен азын алмау керек. S2-8 бірліктен және S3-12 бірліктен кем болмайтындай жемнің екі түрін де қолданушы рационды құруы тиіс. Бірінші түрдің 1 г құны – 40 теңге, екіншісінікі 60 теңге тұрады.
Құнарлы зат бірлігінің сан мазмұны бірінші түрдің 1 кг-да S1 = 3; S2 = 1; S3 = 1-ді құраса, екінші түрдегілер S1 = 1; S2 = 2; S3 = 6 болады.

Оның шығыны минимальды болатындай, қажетті құнарлылығы болған сондай рацион құру керек. Төмендегі кестеде қажетті мәліметтер берілген.

Жем түрі. Жем бірлігіндегі құнарлы зат мөлшері. Жем бірлігінің құны, тг
S1 S2 S3

Модельді құру белгісізді x1 – бірінші түрдегі жем мөлшері; x2 – екінші түрдегі жем мөлшері.
Зерттеу мақсаты – жемге жіберілген минимальды шығын кезінде берілген қоспа құнарлылығын қамтамасыз ету. Мәселе критерийі – минималды шығындар.

Бізге белгілі жем бірлігінің бірінші түрінің құны 40 теңге тұрады, ал осы жемнің мөлшері – х, демек, барлық жемнің бірінші түрдегі құн – 40x1, осы іспеттес екінші түрдегі жем үшін – 60x2.
Осыны есептей келе, екінші және бірінші түрдегі жем қоспасының құны минимал болуы тиіс, түрлердің критерийі былай болуы тиіс.

1. f(x)=40x1 – 60x2 → min – мақсатты функция қоспа үш түрлі құнарлы заттардан құрылуы тиіс, бұл мәніс шектеуде көрініс тапқан.

2. шектелу жүйесі.
Бірінші теңсіздік құнарлылық заттар S1 бойынша шектелу жағдайында жазылған. 3x1 көбейтіндісі, бұл – бірінші жемдегі S1 құнарлы зат саны, 1x2 көбейтіндісі – екінші жемдегі S2 құнарлы зат саны. Сонымен, рациондағы S1 9 бірліктен кем емес құнарлы зат болуы керек, сонда бұдан 1 теңсіздігі шығады.

Осы тәрізді 2-3 теңсіздіктерін аламыз. Мұндай ретпен теңсіздік түрінде шектеу жүйесі пайда болады.
Рационда пайда болатын жем мөлшері, шамасы жағынан оң немесе нөлге тең болуы тиіс (егер анықталған жем түрі рационда пайдалануға болады). Демек, үлгіде теріс емес айнымалы шектелген қатысуы тиіс.
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0 – теріс емес жағдай.
Түгелімен есеп құрылған рацион мынадай модель көрсетіледі:

f(x)=40x1 – 60x2 → min – мақсатты функция

x1 ≥ 0
x2 ≥ 0

Бекіту
f = 3x1 + 4x2 → min
f = 10x1 + 14x2 → min
f = x1 + x2 → max

Үйге тапсырма
1) f = x1 + x2 → max