1. Мысал: х2+4х+3 =0 теңдеуін шешейік.
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:
х2+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3)
Демек, теңдеуді былай жазуға болады: (х+1)(х+3) =0
Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х =- 1 және сандары х2+4х+3=0 теңдеуінің түбірлері болып табылады.
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу арқылы шеш:
a) x² - x=0
б) x² +2x=0
в) 3x² - 3x=0
г) x² - 81=0
д) 81а2 - 18а+1=0
ж) x² +6x+9=0
з ) x² +4x+3=0
e) x² - 4x+4=0
к) x² +2x - 3=0
м) 36у2 - 12у+1=0
12. Теңдеуді шешіңіз: 2x2 – 5x – 7=0
A) – 0, 5; B) 1; – 3, 5 C) 0, 5; –
D) – 1; 3, 5 E) 3, 5; 1
13. Теңдеуді шешіңіз: 6x2=5x+1
A) 1; – 6
B) 1; 6
C) 1; –
D) 1;
E) – 1;
14. Теңдеуді шешіңіз: 5x2+1=6x
A) 1; –
B) – 1;
C) 1;
D) – 1;
E) 1; – 5
15. Теңдеуді шешіңіз: 4х2+7х+3=0
A) 1; –
B) – 1; –
C) – 2;
D); 2
E) 2; –
2. Мысал: 1) 3х2 - 7х+4=0 теңдеуін шешейік.
а=3, в=- 7, с=4. Д=в2 - 4ас=(- 7) 2 - 4•4•3=49 - 48=1.
Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х1=1, х2=
Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2 - 4ас>0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.
2) 9х2+6х+1=0 теңдеуін шешейік.
а=9, в=6, с=1. Д=в2 - 4ас=62 - 4•9•1=0.
Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады: х=, х=
Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни
в2 - 4ас=0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің жалғыз
түбірі бар болады: х=
3) х2+2х+3=0 теңдеуін шешейік.
а=1, в=2, с=3. Д=в2 - 4ас=4 - 4•3•1= - 8.
Д0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р0, р=- 9 0, р =5 >0.
Формуланы қолданбай, квадрат теңдеулердің
түбірлерін тап:
1) х2 – 2х – 15 = 0
2) х2 + 2х – 8 = 0
3) х2 + 10х + 9 = 0
4) х2 – 12х + 35 = 0
5) х2 - 8х - 84=0
7) х2 – 2х + 1 = 0
8) х2 + 4х + 4 = 0
9) х2 – 6х + 9 = 0
10) у2+14у+48=0
11) 5х2 – 9х – 2= 0
6) х2 – 5х + 6 = 0 12)
х2 – 11х + 15 = 0
4 - мысал: 7х2+2х - 9=0, а≠0 квадрат теңдеуі берілген.
Егер а+в+с=0 (яғни коэффициенттер қосындысы 0 - ге тең) болса, онда х1=1, х2=
Берілген теңдеудің коэффициенттерінің қосындысы 0 - ге тең, яғни
7+2 - 9=0, ендеше х1=1, х2=
Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолданып төмендегі есептерді шығар:
1) 3х2 - 7х+4=0
2) 3х2 - 2х - 1=0
3)- х2 - 13х+14=0
4) 5у2 - 6у+1=0
5) 2р2+7р - 5=0
6) 939х2 - 978х+39=0
7) 2016х2 - 2017х+1=0
8) 5х2 - 8х+3=0
9) 839х2 - 448х - 391=0
10) 2у2 - 8у+10=0
11) 14х2 - 5х - 9=0
12) 11х2+25х - 36=0
13)- 2006х2+2007х - 1 =0
14) 313х2 - 326х+13=0
m2+m - 90=0 ------------------- 2x2+x+2=0
3x2+32x+80=0 ----------------- x2+5x - 6=0
9x2+6x+1=0 --------------------- 14x2 - 5x - 1=0
2x2+3x+1=0 --------------------- 2x2+x+67=0
4x2+4x+1=0 --------------------- 2p2+7p - 30=0
y2 - 3y - 5=0 --------------------- 5x2 - 11x+2=0
9y2 - 30y+25=0 ----------------- y2 - 11y - 152=0
81y2 - 18y+1=0 ----------------- 8z2 - 7z - 1=0
3x2 - 14x+16=0 ----------------- x2+2x - 80=0
15y2+22y - 37=0 --------------- x2 - 22x - 23=0
5x2 - 6x+1= 0 -------------------- y2 - 10y - 25=0
7x2 - 20x+14=0 ----------------- 8z2 - 14z+5=0
х2 - 8x - 84=0 -------------------- x2+6x - 27=0
3 х2 +1 4х + 16 = 0 ------------- 5х2 – 9х – 2= 0
Төмендегі есептерді әртүрлі тәсілдерді қолданып шығарыңдар:
5х2=9х+2 --------------- 25=26x - x2
х2=5х - 14 -------------- 3x2=10 - 29x
6х+9=х2 ----------------- 3p2+3=10p
z2 - 25=z - 5 ------------ x2+6x+8=0
x2 - 4x - 5=0 ------------ 2x2 - 5x+2=0
5x2 - 2x - 3=0 ----------- 7x2 - 2x - 5=0
x2 - 12x - 13=0 ---------- x2 - 3x - 10=0
x2 - x - 132=0 ----------- 3x2 - 14x+16=0
x2 - 22x - 23=0 --------- 2x2 - 3x - 5=0
3x2 - 13x+14=0 --------- x2 - 5x+4=0
х2 - 5x+6=0 -------------- 5x2 - 9x - 2=0
3x2 - 13x+14=0 --------- y2 - 10y - 24=0
y2 - y - 20=0 ------------ 3t2+7t+4=0
х2+7x - 60=0 ------------ 2x2+9x - 486=0
5 - мысал: 2х2 - 9х+9=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде
у2 - 9у+18=0 теңдеуін аламыз. Виет теоремасы бойынша
Жауабы: 3; 1, 5.
Теңдеудің асыра лақтыру әдісі арқылы шеш:
1) 10х2 - 11х+3=0
2) 3х2+11х+6=0
3) 4х2+12х+5=0
4) 5х2 - 11х+2=0
5) 5х2 - 11х+6=0
6) 2х2+х - 10=0
7) 6х2+5х - 6=0
8) 2x2 - 5x+2=0
6 - мысал: 5х2 - 8х - 4=0 теңдеуінің түбірлерін табайық.
Шешуі: мұнда b=- 8, яғни b=2∙(- 4). Демек, х = осы формуланы қолданамыз. Сонда х = х =,
бұдан х1=, х2=
жауабы: х1=, х2=
Жұп коэффициенті бойынша теңдеуді шеш:
1) 4x2 - 36x+77=0
2) 15x2 - 22x - 37=0
3) 4x2+20x+25=0
4) 9x2 - 12x+4=0
5) 5t2+26t - 24=0
6) 3x2 - 6x+3=0
7 - Мысал: 1. x2 - 6х+5=0 квадрат теңдеуін графиктік тәсілмен шешейік.
Шешуі. Берілген теңдеуді х2=6х - 5 мынадай түрге келтіріп жазып алайық:
у=х2 параболасын және у=6х - 5 түзуін тұрғызайық.
у=6х - 5 түзуін екі нүкте арқылы тұрғызуға болады. Түзу және парабола абсциссалары х1=1, х2=5 - пен қиылысады.
Жауабы: x1=- 1 x2= 5
Графиктік тәсіл бойынша теңдеуді шеш:
1) x2 - 2x - 3=0
2) x2 - 5x+14=0
3) 2x2 - 3x - 5=0
4) x2 - 6x+9=0
5) x2 - 2x+1=0
6) x2 - 3х - 10=0
Назар аударыңыз! Жасырын мәтінді көру үшін сізге сайтқа тіркелу қажет.
